Ringrazio mille per l'aiuto.

Risponde Pietro Paolo Falco: Dando per scontato che il ponte non sia esageratamente basso e che i solchi sulle sellette siano a posto, sufficienti a far adagiare al loro interno le corde e abbastanza integri da non farle scivolare via con facilità dalla loro sede, il problema che descrivi può essere riconducibile a un modello di Bigsby inadeguato.
Nello specifico, il difetto è tipico di una situazione in cui le corde effettuano poca pressione contro il ponte a causa di un angolo di incidenza non sufficientemente acuto.
Non tutti i Bigsby sono uguali e, in mancanza di maggiori informazioni, posso solo supporre che tu abbia un modello stile B3, ovvero con il solo perno sul quale vengono ancorate le corde. Questo modello è indicato per semiacustiche a cassa sottile, nelle quali la bombatura del top è più pronunciata rispetto a quella di una Les Paul e solitamente è sufficiente perché le corde poggino con un buon angolo contro il ponte, generando la giusta pressione che non le fa saltare dal loro posto. In una Les Paul, le corde passerebbero oltre il ponte quasi senza piegarsi in quanto il perno del Bigsby sarebbe più o meno alla stessa altezza del ponte, e sarebbero quindi soggette a perdere la loro posizione facilmente.
Per chitarre elettriche comuni sono consigliati modelli come il B5 o il B7, rispettivamente da fissare direttamente sul top della chitarra o con tailpiece da assicurare sul fondo del body.
Questi due modelli hanno due perni orizzontali di cui uno serve ad ancorare le corde e l'altro, più vicino al ponte, serve a tenerle più basse rispetto a esso aumentando così l'angolo di incidenza.
Una corda ben premuta sul ponte non salta via e, inoltre, trasmette meglio le vibrazioni con minori dispersioni.

Per montare un Bigsby tipo B5 sulla Les Paul senza effettuare modifiche invasive, puoi valutare l'acquisto di un adattatore tipo Vibramate, che puoi vedere nella foto in alto e che viene descritto in modo approfondito in questo articolo.
Se il tuo Bigsby è di tipo B3, con un solo perno, dovresti avere ancora liberi i due fori originariamente destinati allo stoptail del Tune-o-matic. In questo caso, qualora non volessi sostituirlo, potresti considerare di piazzarvi un Towner, cilindretto metallico che ha il preciso scopo di abbassare le corde in quel punto, simulando l'angolo generato da un Tune-o-matic tradizionale ma riducendo gli attriti grazie a una parte mobile. Puoi leggerne in questo articolo.